三角形“四心”的向量表示

 

◇  周宜波

 

【摘  要】向量是沟通代数与几何的重要工具，它集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，因而向量是几何研究的一个有力工具。与三角形的“四心”（即重心、内心、外心、垂心）有关的向量问题是一类极富思考性和挑战性，又具有相当深度和难度的重要问题，在近几年高考中备受命题者的青睐，这方面已经有很多研究成果，笔者通过近几年的收集整理探究，尝试用一种结构的表达式表示这四心，把三角形的四心做到完美的统一，现整理成文，献给读者，希望读者在用向量手段研究三角形的心的时候有所帮助。

【关键词】三角形  代数与几何  四心  向量

 

 三角形的四个“心”；

重心：三角形三条中线的交点.

外心：三角形三边垂直平分线的交点.（三角形外接圆的圆心）

内心：三角形三内角的角平分线的交点.（三角形内切圆的圆心）

垂心：三角形三边高线的交点.

引理：在ΔABC内任取一点O，则：  …①（其中S_A、S_B、S_C分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（下面给出两种证明方法）

证法一：记 方向上的单位向量依次为 ，并记∠BOC、∠COA、∠AOB依次为 ， ， 则

   ，

   ，                             （图1）                                                                                                                                                                       

   。

所以，①式等价于  …②

  如图1，在OA上取点D，使 ，过D作DE∥OB交CO延长线于E，则

在ΔODE中， ，∴ ，于是， 、 、 恰好构成一个三角形，它们的和为零向量。故命题得证。

证法二： 设 点在 内部，证明：当 ，有 成立。

  设： ，使得点 为△DEF的重心，

    又 ， ， ，

又 为 的重心，所以有

        ∴

引理中的点O是ΔABC所在平面内一点，并且在ΔABC内部，其实，若O在ΔABC的周界上时结论也成立。当点O在ΔABC外时，类似地还可以得到：

命题：若点O是ΔABC的形外一点且与点A位于直线BC的两侧，则有结论  （其中S_A、S_B、S_C分别表示ΔBOC、ΔCOA、ΔAOB的面积）。（证明略）

 联系到不少刊物上纷纷将三角形“四心”用各种形式的向量来表示，其实当把这个点 特定为三角形的“四心”时，我们就能得到有关三角形“四心”的一组统一的向量形式。

　引申：设 点在 内部，且角 所对应的边分别为

  结论1：若 为 重心，则  

         分析：重心在三角形的内部，且重心把 的面积三等分.

　结论2 ： 为 内心，则

　　    分析：内心在三角形的内部，且易证S_△BOC：S_△COA：S_△AOB=

　结论3： 为 的外心，则 　　        

        分析： 易证S_△BOC：S_△COA：S_△AOB=

=sin2A：sin2B：sin2C.

  结论4：若O是 的垂心

若O是 (非直角三角形)的垂心，

分析： 易证

故

四心结论统一形式：设O是ΔABC所在平面内一点，则

（Ⅰ）O是ΔABC的重心  ；

（Ⅱ）O是ΔABC的外心  ；

（Ⅲ）O是ΔABC的内心  ；

（Ⅳ）O是斜ΔABC的垂心  ；

利用三角形面积公式和引理，容易证明上面四个结论成立。

 

怎样上好一堂数学课的“开胃菜”

 

◇   赵 娟

   

    【摘  要】“数学开胃菜”即课堂引入环节，它是教学环节的第一步,也是关键的一步，直接决定了学生在心理上对待这节数学课的学习态度。本文从色、香、味三个方面介绍三种收效良好的课堂引入模型，希望学生能徜徉在快乐的数学课堂里，学好数学。

    【关键词】数学  开胃菜  课堂引入

 

“开胃菜”即正式用餐之前的菜品，讲究色、香、味浓淡相宜，是增加正餐兴致的菜品。

 何谓“数学开胃菜”，就是课堂引入环节，时间大约为5-7分钟，是一堂数学课的灵魂所在。怎样上好开胃菜呢？今天我就从色、香、味三个方面浅谈我的思考。

课堂引入是整个数学课堂的排头兵，每位老师的策略不同，排兵布阵也不相同。思及此，我总结了三种收效良好的课堂引入模型。

一、“清新淡雅”型：老师穿着得体，妆容清新，课件制作素雅别致，引入环节层层递进，主要以图片，视频，实物展示为主，辅以音乐欣赏。

《十大菠菜导航网址平台》第一课时

环境设置：

背景音乐：阆中之恋     

背景图片：阆中古城“城门照”

实施过程：在优美的音乐声中随着图片的跃动展示，走进阆中古城，走进山水桂林，踏着音乐的步子漫步于漫山红叶之间，在风景如画的山水中和同学们找出常见的立体图形。如阆中古城某张图片中石狮子脚下的球，古城中特制的正方体灯笼，红叶之下拥挤而茁壮的树干等等。将生活中美丽的事物与数学中常见的立体图形相联系，并请A，B，C三位同学在黑板上写出他们所看见的立方体。

收汁提味：

师：领悟了大自然的鬼斧神工——为我们创造出了正方体、长方体、球，那在我们现在的教室里也存在这样的立体图形吗？

生：积极找到课本，笔筒，灯管，黑板等，他们也是立体图形。

实施效果：在美丽的山水中学习生活中的立体图形，引导学生们体会数学就在生活之中，轻松学数学，开心学数学。

二、“动静相宜”型：老师穿着大方，妆容灵动。师生共同完成课堂引入环节。老师作为引导者和参与者亲自“做一做”，将自己放在学生的位置，以学生的姿态和学生抢答，带领学生一起探究数学，创造高效课堂。

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环境设置：课堂上学生保持安静，MP3播放准备就绪，同学们整装待答，营造小紧张氛围。

实施过程：

（1）老师播放音乐片段，请同学们抢答歌手身份。

第一首：《十大菠菜导航网址》  杨宗纬  学生抢答，计分

第二首：《十大菠菜导航网址平台》  李宇春  学生抢答，计分

第三首：《十大菠菜导航网址》  筷子兄弟  学生抢答，计分

第四首：《Whataya Want From Me》 亚当.兰伯特

学生抢答，计分

第五首：《十大菠菜导航网址》   胡歌     学生抢答，计分

（2）将学生分为四个小组，每个小组准备一首歌曲并演唱选段，请另外三组同学和老师一起抢答歌手的名字。

收汁提味：在歌曲与歌手的对应中引导同学们进入今天的主题——一种特殊的对应关系，进而引出函数的概念。

实施效果：在歌曲的互动中充分调动了学生的积极性，也让学生对接下来要学习的函数从心理上降低的难度。

三、“粉墨登场”型：老师穿着庄重大气，妆容简洁。由学生演绎作品秀，老师在一旁定格画面，截取选段与学生共同讨论。整个课堂引入以作品的形式出现，课堂生动活泼，同时也考验学生的课本剧创作能力。

环境设置：准备两根长度相同的绳子，一个用纸糊的“水井”，“老师A”，“学生B”，“学生C”。

实施过程：“老师A”出场，布置学生B，学生C想办法测出水井的深度。

“学生B”拿出绳子，三折之后，量出比井深多5尺；

画面定格，老师提问，此处存在等量关系吗？如果存在，请将等量关系写在纸上。

“学生C”拿出绳子，四折之后，量出比井深多1尺；

画面定格，老师提问，这里也存在等量关系吗？如果存在，请将等量关系写在纸上。

收汁提味：老师根据学生们写出的等量关系，引导同学们思考能否用二元一次方程组解决该问题，顺利引出今天的主题——应用二元一次方程组解决实际问题。

实施效果：通过作品秀学生将自己融合成作品里面的角色，更能深刻的体会二元一次方程组模型在实际生活中的应用，寓教于乐，寓演于学，在感受作品的魅力时快乐而真挚的对待数学，学习数学。

徜徉山水之间，唇齿留香是我们对生活的向往，徜徉数学课堂，回味无穷是每一位数学老师的梦想。本文从课堂引入出发，分别从色——环境设置、香——实施过程、味——收汁提味三个方面讲述如何上好一堂数学课的“开胃菜”，希望每一位同学都能开心学学数学，领悟数学的无穷魅力。